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2019-2020年高中数学 第31课时《用二分法求方程的**狻(学生版 )苏教版必修1

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2019-2020 年高中数学 第 31 课时 《用二分法求方程的**狻罚ㄑ 版 )苏教版必修 1 【学*导航】 知识网络 学*要求 1.通过具体实例理解二分法的概念及 其适用条件,了解二分法是求方程 **獾某S梅椒ǎ又刑寤岷 与方程之间的联系及其在实际问题 中的应用; 2.能借助计算器用二分法求方程的* *猓 3.体会数学*蹋惺芫酚* 似的相对统一. 自学评价 1.二分法 对于在区间上连续不断,且满足的函 数,通过不断地把函数的零点所在的区间一 分为二,使区间的两个端点逐步*愕悖 进而得到零点*似值的方法叫做二分法. 2.给定精度,用二分法求函数的零点*似 值的步骤如下: (1)确定区间,验证,给定精度; (2)求区间的中点; (3)计算: ①若=,则就是函数的零点; ② 若·<,则令=(此时零点); ③若·<,则令=(此时零点); (4)判断是否达到精度:即若,则得到零点 值(或);否则重复步骤 2~4. 【精典范例】 例 1:利用计算器,求方程的一个**猓ň 确到 0.1). 【解】设, 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为 f (2) ? ?1 ? 0, f (3) ? 2 ? 0 , 所以在区间内,方程有一解,记为.取与的* 均数,因为 , 所以 . 再取与的*均数,因为, 所以 . 如此继续下去,得 f (2) ? 0, f (3) ? 0 ? x1 ? (2,3) f (2) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2, 2.5) f (2.25) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2.25, 2.5) f (2.375) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2.375, 2.5) f (2.375) ? 0, f (2.4375) ? 0 ? x1 ? (2.375, ,因为与精确到的*似值都为,所以此方程的 **馕 . 利用同样的方法,还可以求出方程的另一个* *. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间,可 利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但 尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度, 通常可确定一个长度为 1 的区间; ②建议列表样式如下: 零点所在 区间 区间中点函数值 区间长度 1 0.5 听课随笔 听课随笔听课随笔 0.25 A. C. B. D. 0.125 2. 估 算 方 程 的 正 根 所 在 的 区 间 是 () 如此列表的优势:计算步数明确,区间长度 小于精度时,即为计算的最后一步. 例 2:利用计算器,求方程的**猓ň 到 0.1). 分析:分别画函数和 的图象,在两个函 数图象的交点处, A. B. C. D. 3.计算器求得方程的负根所在的区间是 () A.(,0) B. C. D. 4.利用计算器,求下列方程的**(精确到) (1) (2) 函数值相等.因此, 这个点的横坐标就 是方程的解.由函 数与的图象可以发 现,方程有惟一解, 记为,并且这个解在区间内. 【解】设,利用计算器计算得 f (2) ? 0, f (3) ? 0 ? x1 ? (2,3) 【选修延伸】 一、含字母系数的二次函数问题 例 4:二次函数中实数、、满足,其中,求证: (1)); (2)方程在内恒有解. 分析:本题的巧妙之处在于,第一小题提供了 f (2.5) ? 0, f (3) ? 0 ? x1 ? (2.5,3) 有益的依据:是区间 内的数,且,这就启发 我们把区间 划分为(,)和(,)来处理. 【解】(1) f (2.5) ? 0, f (2.75) ? 0 ? x1 ? (2.5, 2.75) f (2.5) ? 0, f (2.625) ? 0 ? x1 ? (2.5, 2.625) f (2.5625) ? 0, f (2.625) ? 0 pf ( m ) ? p[ p( m )2 ? q( m ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1 pm q r ? pm[(m ?1)2 ? ? m ?1 ] m 因为与精确到的*似值都为,所以此方程的 **馕 . 思考:发现计算的结果约稳定在.这实际上 是求方程**獾牧硪恢址椒āǎ 除了二分法、迭代法,求方程**獾 方法还有牛顿切线法、弦切法等. 例 3:利用计算器,求方程的**猓ň 到 0.1). 【解】方程 可以化为. 分别画函数 与的图象,由图象可以知道,方程的解在区 间内,那么对于区间,利用二分法就可以求 得它的**馕. 追踪训练一 1. 设是方程的解,则所在的区间为 ( ) ? p 2 m[ m(m (m ? ? 2) ? (m ?1) 1)2 (m ? 2) 2 ] , 由于是二次函数,故,又,所以,. ⑵ 由题意,得, . ①当时,由(1)知 若,则,又,所以 在(,)内有解. 若,则 ,又,所以在(,)内有解. ②当时同理可证. 点评:(1)题目点明是“二次函数”,这就暗 示着二次项系数.若将题中的“二次”两个字 去掉,所证结论相应更改. (2)对字母、分类时先对哪个分类是有一定 讲究的,本题的证明中,先对分类,然后对分 类显然是比较好. 追踪训练二 1.若方程在内恰有一则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 2.方程的两个根分别在区间和内,则的取值 范围是 ; 3.已知函数,在上存在,使,则实数的取 值范围是____ ____________. 4.已知函数 ⑴试求函数的零点; ⑵是否存在自然数,使?若存在,求出,若 不存在,请说明理由.



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