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高等数学课件完整版1-8_图文

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一、无穷小的比较
1 例如, 当x ? 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x lim ? 0, x 2比3 x要快得多; x?0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同 ; 各 lim x ? 1, x?0 极 1 2 x sin 限 x ? lim sin 1 lim 不存在. 不可比. 2 x?0 x ?0 x x
2 2

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.

定义:设?, ? 是同一过程中的两个无穷小, 且? ? 0.
? (1) 如果 lim ? 0, 就说? 是比?高阶的无穷小, ? 记作 ? ? o(? ); ? ( 2) 如果 lim ? C (C ? 0), 就说? 与?是同阶的无穷小 ; ? ? 特殊地 如果 lim ? 1, 则称? 与?是等价的无穷小 ; ? 记作 ? ~ ?;

? ( 3) 如果 lim k ? C (C ? 0, k ? 0), 就说?是?的k阶的 ?
无穷小.

例1 证明 : 当x ? 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小.
4 x tan 3 x tan x 3 lim 解 ? 4 lim ( ) ? 4, 4 x?0 x?0 x x
故当x ? 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小.

例2 当x ? 0时, 求 tan x ? sin x关于x的阶数.
tan x ? sin x tan x 1 ? cos x 1 解 ? lim ? lim ( ? )? , 3 2 x?0 x?0 x x x 2
? tan x ? sin x为x的三阶无穷小.

常用等价无穷小:

当x ? 0时,

sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 ? x ) ~ x ,

arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e ? 1 ~ x,
x

1 2 1 ? cos x ~ x . 2

用等价无穷小可给出函数的*似表达式: ? ??? ? lim ? 1, ? lim ? 0, 即 ? ? ? ? o(? ), ? ?
于是有 ? ? ? ? o(? ).

例如, sin x ? x ? o( x ),

1 2 cos x ? 1 ? x ? o( x 2 ). 2

二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)

?? ? ?? 设 ? ~ ? ?, ? ~ ? ?且 lim 存在, 则 lim ? lim . ?? ? ??

? ?? ?? ? lim ? lim( ? ? ) ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? lim ? lim ? lim ? lim . ?? ?? ? ??

例3

tan 2 x 求 lim . x ?0 1 ? cos x

2

1 2 解 当x ? 0时, 1 ? cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 ? lim ? 8. x?0 1 2 x 2
注意

不能滥用等价无穷小代换.

对于代数和中各无穷小不能分别替换.

tan x ? sin x 例4 求 lim . 3 x ?0 sin 2 x
错 解 当x ? 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .

x? x 原式 ? lim ? x ?0 3 ? 0. (2 x )



当x ? 0时, sin 2 x ~ 2 x ,

1 3 tan x ? sin x ? tan x(1 ? cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 ? 1. 原式 ? lim 3 x?0 ( 2 x ) 16

例5 解

tan 5 x ? cos x ? 1 求 lim . x?0 sin 3 x

? tan x ? 5 x ? o( x ), sin 3 x ? 3 x ? o( x ), 1 2 1 ? cos x ? x ? o( x 2 ). 2 1 2 5 x ? o( x ) ? x ? o( x 2 ) 2 原式 ? lim x?0 3 x ? o( x )
o( x ) 1 o( x 2 ) 5? ? x? x 2 x ? 5. ? lim x?0 o( x ) 3 3? x

三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.

2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.

思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗?

思考题解答
不能.
例当 x ? ?? 时

1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) ? , g( x ) ? x x g( x ) ? lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x ? ?? f ( x ) x ? ??
故当 x ? ?? 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较.

一、填空题: tan 3 x lim 1、 =__________. x ? 0 sin 2 x arcsin x n 2、lim =________. x ? 0 (sin x ) m ln(1 ? 2 x ) 3、lim =_________. x?0 x 1 ? x sin x ? 1 4、lim =________. 2 x?0 x arctan x x lim 2 n sin n =________. 5、n? ? 2

练 * 题

(1 ? ax ) ? 1 6、lim =_________. x ?0 x

1 n

7、当 x ? 0 时, a ? x 3 ? a ( a ? 0) 对于 x 是_______阶无穷小 . n 8、当 x ? 0 时,无穷小 1 ? cos x 与 mx 等价,则 m ? _______,n _______ . 二、求下列各极限: tan x ? sin x lim 1、 x ? 0 ; 3 sin x e? ? e ? lim 2、? ? ? ; ??? sin?x ? sin ?x 3、lim ; x?0 x tan x ? tan a 4、lim ; x?a x?a

三、证明:若? , ? 是无穷小,则? ~ ? ? ? ? ? ? 0(? ) . 四、设 f(x)= lim
2 n? ? x 2n ? 1 求:1、 f ( x ) 的表达式 . 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) ? f (1) ,
x ?1
x ? ?1

x

2 n ?1

sin

?

x ? cos( a ? bx )

lim f ( x ) ? f ( ?1) .

练*题答案
3 一、1、 ; 2

?0, m ? n ? 2、?1, m ? n ;3、2; ?? , m ? n ?
a 6、 ; n
e? ; 2、

? 4、 ;

5、 x ;
1 二、1、 ; 2

7、3;

1 8、 , 2. 2

sec ? ? ? ; 4、 2 a . 3、

? ? ? sin 2 x ? x , x ?1 ? ?1 ? cos(a ? b ) , x ? 1 ? 2 ? ?1 ? cos(a ? b ) , x ? ?1 ? 2 ?cos(a ? bx ), x ? 1 四、1、 ? ; 2、a ? 2k? ( k ? 0 , ? 1,? ) , b ? 0 .




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