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安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测(一模)数学(文)试题(解析版)

发布时间:

黄山市 2019 届高中毕业班第一次质量检测
数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 90 分)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘 贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓 名和座位号后两位. 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必 须在题号所指示的答题区域作答,超.出.答.题.区.域.书.写.的.答.案.无.效.,.在.试.题.卷.、.草.稿.纸.上.答.题.无.效..

4. (参考公式:



第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 请.在.答.题.卷.的.相.应.区.域.答.题.)

1.设集合



,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合 B,进而求交集即可得到结果.

【详解】由题意可得

,又



故选:C 【点睛】本题考查交集的求法,解题时要认真审题,是基础题.

2.已知复数

,则 的实部为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则化简复数 z,即可得出 的实部.

【详解】复数 z

i.

z 的实部为 0. 故选:B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及实部的概念,属于基础题. 3.为比较甲,乙两地某月 时的气温,随机选取该月中的 天,将这 天中 时的气温数据(单位:℃)制成如图 所示的茎叶图,考虑以下结论:①甲地该月 时的*均气温低于乙地该月 时的*均气温;②甲地该月 时的 *均气温高于乙地该月 时的*均气温;③甲地该月 时的气温的中位数小于乙地该月 时的气温的中位数; ④甲地该月 时的气温的中位数大于乙地该月 时的气温的中位数.其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号 为( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知的茎叶图,我们易分析出甲、乙甲,乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度,进而求出两组数据的*均 数、中位数可得答案. 【详解】由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙甲,乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度分别为: 甲:26,28,29,31,31, 乙:28,29,30,31,32,

可得:甲地该月 14 时的*均气温: (26+28+29+31+31)=29,

乙地该月 14 时的*均气温: (28+29+30+31+32)=30,

故甲地该月 14 时的*均气温低于乙地该月 14 时的*均气温;

甲地该月 时的气温的中位数 29,

乙地该月 14 时的气温的中位数 30,

所以甲地该月 时的气温的中位数小于乙地该月 时的气温的中位数.

故选:A.

【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据,便于记录及表示,能反映数据在各段上的分布情况.茎叶图不能直

接反映总体的分布情况,这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征,进一步估计总体情况.

4.广东省 年新高考方案公布,实行“

”模式,即“ ”是指语文、数学、外语必考,“ ”是指物理、

历史两科中选考一门,“ ”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门,在所有选项中某学生选择考历史和

化学的概率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用古典概型公式直接计算即可.

【详解】“

”模式包含的基本事件有:2×6=12 种情况,

选择考历史和化学包含的基本事件有:1×3=3 种情况,

∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为 .

故选:C 【点睛】有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数:1.基本事件 总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举;2.注意 区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.

5.如图所示为某几何体的三视图,正视图是高为 1,长为 2 的长方形;侧视图是高为 1,底为 的直角三角形;俯

视图为等腰三角形,则几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体为四棱锥,根据所给数据计算体积即可. 【详解】由三视图可知该几何体为四棱锥,如图所示:

几何体的体积为 故选:B 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积,解决本题的关键是知道该几何体的形状,然后根据“主左一样 高,主俯一样长,俯左一样宽”进行计算.属于基础题.

6.若实数 x,y 满足约束条件

,则

的最大值是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的*面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论.

【详解】作出不等式组

对应的*面区域如图

由 z=2x+3y 得 y x ,

*移直线 y x ,

由图象可知当直线 y x ,

经过点 A(0,1)时,直线 y 此时 z=2×0+3×1=3, 故选:C.

x 的截距最大,此时 z 最大,

【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,

属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);

(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内*移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是

最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

7.G 为

的重心,若

,则 的值为( )

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】 【分析】 利用重心的性质,结合向量的线性运算即可得到结果.

【详解】

设 BC 的中点为 D,则



又G为

的重心,∴



,∴



故选:D 【点睛】本题考查了*面向量的线性运算的应用及三角形重心的性质,考查数形结合的思想,属于基础题. 8.当 输入 a 的值为 ,b 的值为 时,执行如图所示的程序框图,则输出的 的结果是( )
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 模拟程序的运行,根据程序流程,依次判断写出 a,b 的值,可得当 a=b=4 时,不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 4,即可得解. 【详解】模拟程序的运行,可得 a=16,b=12 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=16?12=4, 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=12?4=8, 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=4?4=4, 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 4. 故选:C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不 要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直

到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程 序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.

9.函数

,当

时, 的值域是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】 由条件利用正弦函数的图像与性质,求得 f(x)的值域.

【详解】当

时, ∈[ , ],

∈[ , ],



∈[﹣2, ],即 f(x)∈



故选:C. 【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域,属于基础题.

10.在

中,角 ABC 的对边分别为 a,b,c,且

则 a 的值为( )

A.

B.

【答案】D

【解析】

【分析】

C.

D.



得到角 C,又 ,故 A= ,利用正弦定理即可得到结果.

【详解】由 由正弦定理:

可得:

,即 tanC=1,故 C= A=

可得:

,



故选:D

【点睛】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

11.函数

的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对称性排除 A,C;利用单调性排除 D,从而得到结果.

【详解】由于

为偶函数,所以

关于直线 轴对称,

从而可排除 A,C;



上为增函数,所以



上为增函数,排除 D;

故选:B

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判

断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;

(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

12.若函数

有两个不同的零点 ,且



,则实数 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用换元法把问题转化为二次函数零点分布的问题,得到不等式组,解之即可.

【详解】设 t=2x,函数 f(t)=t2﹣mt+m+3 有两个不同的零点,



,



,即

,解得:

故选:C

【点睛】对于二次函数的研究一般从以几个方面研究:

一是,开口;

二是,对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系;

三是,判别式,决定于 x 轴的交点个数;

四是,区间端点值.

第 II 卷(非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请.在.答.题.卷.的.相.应.区.域.答.题..)

13.

________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简,再根据和与差的公式计算即可.

【详解】



.

故答案为:

【点睛】本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算,比较基础.

14.点 是圆

内一点,则过点 的最短弦长为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

设圆心为 C,过点 A 的最短弦就是垂直于 CA 的弦,根据垂径定理和勾股定理可求得.

【详解】设圆心为 C,

由圆的标准方程:

,可得圆的圆心坐标为 C(2,1),半径为 3,

由于最短弦就是垂直于 CA 的弦,CA

所以过 P 点的最短弦的弦长为 2

2.

故答案为:2 .

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,解决与弦有关的问题时,往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为

三边的直角三角形,再根据勾股定理求解

15.点 为抛物线

的焦点,过点 且倾斜角为 的直线与抛物线交 , 两点,则弦长

__________.

【答案】

【解析】 【分析】 求出焦点坐标,点斜式求出直线的方程,代入抛物线的方程利用根与系数的关系,由弦长公式求得|AB|.

【详解】由题意可得,抛物线的焦点 F(1,0),由直线的斜角为 可知直线 AB 的斜率为

∴直线 AB 的方程为 y

联立方程

可得,3x2﹣10x+3=0

解可得,x1=3 或 由抛物线的定义可知,|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1 故答案为:

【点睛】若

为抛物线

上一点,由定义易得

;若过焦点的弦 的端点坐标为

,则弦长为

可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半

径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

16.设定义域为 的函数 满足

,则不等式

的解集为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据条件构造函数 F(x) ,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.

【详解】设 F(x) ,

则 F′(x)







∴F′(x)>0,即函数 F(x)在定义域上单调递增.





,即 F(x)<F(2x )



,即 x>1

∴不等式

的解为

故答案为:

【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题的关键.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请.在.答.题. 卷.的.相.应.区.域.答.题..)

17.已知数列 公比大于 的等比数列, 是 的前 n 项和,若



(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)令

,求数列

的前 n 项和 .

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意布列等比数列基本量的方程组,解之即可;(Ⅱ)由题意,
.

,利用裂项相消法求出前 n 项和

【详解】解: Ⅰ 由题意,设 公比为

,则

解得



(舍)

所以

Ⅱ 由题意, 所以 =

, 所以

=

=

【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是 根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:

(1)

;(2)

; (3)

;(4)

致计算结果错误.

;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导

18.某景区对 2018 年 1-5 月的游客量 x 与利润 y 的统计数据如下表:

(Ⅰ)根据所给统计数据,求 关于 的线性回归方程



(Ⅱ)据估计 月份将有 万游客光临,请你判断景区*肽甑淖芾竽芊裢黄 万元?

(参考数据:





【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)大约能

【解析】

【分析】

(Ⅰ)求出回归系数,可得 y 关于 x 的线性回归方程;

(Ⅱ)当 x=10 时,代入线性回归方程得到预报值即可作出判断.

【详解】解: Ⅰ





(Ⅱ)

*肽昃扒芾笪 据估计*肽曜芾蟠螅迹艹

万元.

万元

【点睛】求回归直线方程的步骤:①依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系;②计算

的值;③计算回归系数 ;④写出回归直线方程为

; 回归直线过样本点中心 是一

条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两个变量的变化趋势.

19.如图,在三棱锥

中,



,其体积

(Ⅰ)求 长; (Ⅱ)在线.段. 上是否存在点 ,使得 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】

?若存在,请找出并给予证明;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)由

先求出 进而得到 长;(Ⅱ)分两类情况:

,不存在;

,存在.

【详解】解:(I)









(Ⅱ)当

时,在线段 PB 上不存在点 Q(存在线段 PB 延长线上)使得



当 时,

为 PB 的中点,取 中点 D,连 则

为 AB 中

点.

*面

.

【点睛】本题考查三棱锥体积有关的计算,考查线线垂直具备的条件,考查空间想象能力及运算能力,属于中

档题.

20.设椭圆



)的左、右焦点分别为 ,以线段 为直径的圆与直线

相切,

若直线 与椭圆交于 两点,坐标原点为 .

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若

,求椭圆的方程.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

【分析】

(Ⅰ)根据题意可得 a,b 的方程,解之即可得到椭圆的离心率;(Ⅱ)直线



利用韦达定理表示

,即可得到结果.

【详解】(Ⅰ)



圆O与l

相切,

,

与椭圆方程联立可

,

. (Ⅱ)设直线 与椭圆的交点为

直线

,椭圆

联立直线与椭圆

,消去 x 得



,

,

.

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识, 解题时要注意合理地进行等价转化.

21.已知函数

( 为自然对数的底数).

(Ⅰ)当 时,求曲线

在点

处的切线方程;

(Ⅱ)证明:当 时, 不等式

成立.

【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】

(Ⅱ)详见解析

(Ⅰ)当 时,

, 求 出 切 线 斜 率 及 切 点 值 , 即 可 得 到 切 线 方 程 ;( Ⅱ ) 要 证 不 等 式

成立即证

成立,转求两边函数的最值即可.

【详解】解:(Ⅰ)由题意知,当 时,

解得

,又



,即曲线

在点

Ⅱ 证明:当 时,得

处的切线方程为:

要证明不等式

成立,即证

成立

即证

成立,即证

成立





,易知,



,知 在 上单调递增,

上单调递减,

所以

成立,即原不等式成立.

【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数

.根据差函数导函数符号,确

定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用

条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

考生注意:请在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时,请用

2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.已知*面直角坐标系 ,以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 过点

,且倾斜角为 ,

圆 的极坐标方程为



(Ⅰ)求圆 的普通方程和直线 的参数方程; (Ⅱ)设直线 与圆 交于 M、N 两点,求|PM| |PN|的值.

【答案】(Ⅰ)圆 C 方程为

;直线 l 方程为

(t 为参数)(Ⅱ)

【解析】 【分析】 (Ⅰ)运用公式 直线 的参数方程代入圆 的方程,得: 【详解】解:(Ⅰ)

得到圆 的普通方程,由条件得到直线 的参数方程;(Ⅱ)将 ,借助韦达定理即可得到|PM| |PN|的值.

圆 C 的方程

,直线 l 的参数方

程为

(t 为参数)

(Ⅱ)将直线 的参数方程代入圆 的方程,得:

,

,

. 【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题

经过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为

(t 为参数).若 A,B 为直线 l 上两点,其对应

的参数分别为 ,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数为 ,则以下结论在解题中经常用到:

(1)

;(2)

;(3)

;(4)



23.已知函数

(Ⅰ)若 ,求不等式

的解集;

(Ⅱ)若函数

有三个零点,求实数 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

;(Ⅱ)

【解析】 【分析】 (Ⅰ)分 x ﹣2,﹣2≤x≤2,x 2 三种情况求解;

(Ⅱ)若函数

有三个零点,只需

与 有三个交点即可.

【详解】解:(Ⅰ)当 时,

,

, 不等式的解集为

.

(Ⅱ)若函数

有三个零点,只需

与 有三个交点即可,只需



两个分段点位于 的两侧即可.

,

.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,函数与方程的思想,属于中档题.




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